19．（全国Ⅰ?理?16题）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上。已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为     。

　　【解答】一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴ 斜边EF的长为2。

　　20．（全国Ⅱ?理?15题）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为    cm2。

　　【解答】一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为1cm，设正四棱柱的高为h，∴ 2R=2=，解得h=，那么该棱柱的表面积为2+4cm2.

　　21．（安徽?理?15题）在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是                   （写出所有正确结论的编号）。

　　①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体。

　　【解答】在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是①矩形如ACC1A1；. ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如ACB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如AA1DC，所以填①③④⑤。

　　22．（江苏?理?14题）正三棱锥高为2，侧棱与底面所成角为，则点到侧面的距离是　　　　．

　　【解答】设P在 底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a,则   设侧棱为b则     斜高 。由面积法求 到侧面的距离 

　　23．（辽宁?理?15题）若一个底面边长为，棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为        ．

　　【解答】根据条件正六棱柱的最长的对角线为球的直径，由得R=，球体积为

　　24．（上海?理?10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件   平行，相交   。

　　【解答】作图易得“能成为是异面直线的充分条件”的是“，并且与相交”或“，并且与相交”。

　　25．（四川?理?14题）如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是    ．

　　【解答】，点到平面的距离为，∴，．

　　26．（天津?理?12题）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为　　　　．

　　【解答】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，由

　　27．（浙江?理?16题）已知点O在二面角的棱上，点P在内，且。若对于内异于O的任意一点Q，都有，则二面角的大小是________。

　　【解答】设直线OP与平面所成的角为,由最小角原理及恒成立知,只

　　有作于H, 则面,故为

　　三、解答题

　　27．（全国Ⅰ?理?19题）四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD。已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝。

　　(Ⅰ)证明：SA⊥BC；

　　(Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小；

　　【解答】解法一：

　　（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得底面．

　　因为，所以，

　　又，故为等腰直角三角形，，

　　由三垂线定理，得．

　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设，

　　故，由，，，得

　　，．

　　的面积．

　　连结，得的面积

　　设到平面的距离为，由于，得

　　，

　　解得．

　　设与平面所成角为，则．

　　所以，直线与平面所成的我为．

　　解法二：

　　（Ⅰ）作，垂足为，连结，由侧面底面，得平面．

　　因为，所以．

　　又，为等腰直角三角形，．如图，以为坐标原点，为轴正向，建立直角坐标系，

　　，，，，，

　　，，所以．

　　（Ⅱ）取中点，，

　　连结，取中点，连结，．

　　，，．

　　，，与平面内两条相交直线，垂直．

　　所以平面，与的夹角记为，与平面所成的角记为，则与互余．

　　，．

　　，，

　　所以，直线与平面所成的角为．